Tarea 2 Medida de la circunferencia de la Tierra. Eratóstenes.

-En esta entrada hablaremos e intentaremos calcular la medida del radio  del planeta Tierra. Para ello, deberemos emplear distintos cálculos, y dispondremos de más medios que los que tuvo Eratóstenes en su día. Es decir que seremos una especie de Eratóstenes con más medios y recursos. Lo primero que hicimos fue tomar la marca de la sombra que proyectaba un gnomon, durante dos horas y media en intervalos de cinco minutos, y comenzamos con el experimento a las 12:30 horas y lo acabamos a las 15:00 horas, con el fin de

 determinar el momento donde se encontraba el sol a mayor altura (cenit), desde nuestro SR.

Estos datos los compararemos con los de otro colegio/instituto en otra parte del mundo, con el fin de poder medir el radio de la tierra. Volviendo a Eratóstenes, este se había dado cuenta, siendo bibliotecario de Alejandría, gracias a unos libros que encontró, que una ciudad, Siena actual Asuán, en el solsticio de verano la luz del sol penetraba de 

lleno en un pozo y que no había  sombras en ningún objeto. 
Por el contrario en Alejandría en el solsticio de verano, el sol no se podía encontrar en la misma posición desde el SR en la tierra. Ya que se proyectaban sombras de los objetos y en ningún pozo el sol daba de lleno en el agua. Esto dio que pensar a Eratóstenes e hizo que él mismo se diera cuenta que la Tierra no podía ser plana, sino que debía ser una esfera.

-Este vídeo explica como Eratóstenes pudo calcular el radio terrestre, que es lo que nosotros vamos a realizar en esta entrada. Como he dicho antes teniendo muchos más medios, que nos facilitan la tarea.

-Lo que hicimos a continuación fue hallar el momento en que la sombra era mínima, que corresponde con el cenit del sol.

Este es el gráfico de otro colegio, en él se puede ver, el momento en que la sombra fue mínima.

Hemos empleado esta página para ver el momento en el que el 23 de septiembre amaneció, con el que nos encontrabamos con el cenit del sol y con el que nos encontrabamos con la puesta de sol.

*El amanecer ocurrió a las 06:03.

*El cenit del sol tuvo lugar a las 12:07.

*La puesta de sol ocurrió a las 18:10. 

Tras un día de medir y calcular el cenit del sol, según la sombra que proyectaba el gnomon, resultó que la longitud media de la sombra del gnomon fue de 71,225 cm y la altura media del gnomon de 77,975 cm.

El cenit según la media de los cálculos se produjo a las 14:05 horas, ahora ustedes se podrán preguntar como es esto posible si según "The Astronimical Applications Department" el cenit fue a las 12:07 horas.

La respuesta es simple, España a pesar de estar, en parte, bajo el meridiano de Greenwich, toma el horario una hora más tarde en gran parte del año, pero en otra parte del año se encuentra con que esta a dos horas de diferencia con respecto a la hora solar real. Por tanto si pusiéramos nuestros datos en comparación con los de "The Astronimical Applications Department" resulta que sólo nos ha variado el resultado por dos minutos.  

Nuestro dato es 12:05 ---12:07 que es el dato de "The Astronimical Applications Department"

Personalmente pensamos que nuestro dato es bastante aproximado, y que hicimos un buen trabajo el día de las mediciones.

Cálculos de como hallar el radio de la Tierra.

-Lo primero que nos gustaría destacar es que vamos hacer este cálculo en tres ocasiones, tomando siempre unos datos que son los de nuestro colegio (Colegio Base- Alcobendas Madrid).

Los datos de los otros colegios, los obtuvimos de este link, que nos proporcionó nuestro profesor de Física y Química; y para calcular la distancia desde los colegios al ecuador empleamos esta página.

Por si os preguntáis como hallamos las coordenadas para determinar los kilómetros al Ecuador, es sencillo empleamos Google Maps.

A continuación se muestran las coordenadas del Colegio Base halladas con Google Maps.

Si se desea hallar las coordenadas de un lugar, es muy simple nos vamos a Google Maps y en el buscador escribimos el lugar del que queremos saber las coordenadas y por último, situándote en el marcador rojo, (que pone A en el caso de la imagen de arriba), pulsas botón derecho y pulsas en "¿Qué hay aquí? y automáticamente saldrá otro marcador en verde donde aparecen las coordenadas de ese lugar. 

Datos del Colegio Base Madrid

Esta es la ecuación que se emplea para hallar el ángulo del sol en el momento que se estuvo midiendo.

La sombra que proyectaba el gnomon, que en nuestro caso es el cateto opuesto, es 71, 225 cm y la altura del gnomon, que es el cateto adyacente, es de 77, 975 cm.

Ahora lo aplicamos a la ecuación:

La distancia del Colegio Base al ecuador es de 4.445,72 km.

Datos Colegio IES Lagoa de Antea Ourense

-Ahora realizaremos el mismo proceso con este colegio.

Altura del gnomon es de 61 cm y la sombra del mismo de 57,3 cm.

La distancia del Colegio IES Lagoa de Antea al ecuador es de 4.638,21 km.

Datos Instituto San Pedro Nolasco Buenos Aires

De nuevo realizamos el mismo proceso sabiendo que la altura del gnomon es de 70 cm y la sombra del mismo es de 58,7 cm.

La distancia del instituto San Pedro Nolasco al ecuador es de 5.357,89 km.

Datos Colegio IES Francisco de Ayala Granada

Una vez más, hacemos el mismo proceso sabiendo que la altura del gnomon es de 60,2 cm y la sombra que proyecta es de 45,9 cm.

La distancia del instituto IES Franciso de Ayala al ecuador es de 4.134,48 km.

Comparativa Madrid-Ourense

-Lo que hay que tener en cuenta es la ecuación para hallar el radio de la tierra que es la siguiente:

Para hallar la distancia angular hay que emplear la siguiente ecuación:

Y la distancia lineal es la diferencia de la distancia al Ecuador de Madrid y de Ourense; ya que ambos puntos se encuentran en el hemisferio norte, luego con el caso de Buenos Aires tendremos que sumar ya que cada ciudad se encuentra en un hemisferio diferente.

En este caso 4.638,21 km - 4.445,72 km = 192,49 km.

La distancia angular= 

(90º - 42,39º) - (90 - 43,23º) = 47,67º-46,77º=0,84º

Una vez sabido esto, resolvemos la ecuación primera, y queda así:

El radio de la Tierra real es de 6.371 km, y os podréis preguntar porqué el cálculo no sale igual o parecido al radio de la Tierra, esto se debe a que la distancia lineal entre Madrid y Ourense, es insuficiente, ya que es menor de 400 km, lo cual hace que el cálculo sea erróneo.

En el cálculo más abajo, en la comparativa de Madrid- Buenos Aires, se puede observar como nos aproximamos con bastante precisión, (para los medios que hemos empleado), a la medida real.

                      

Madrid-Ourense

Comparativa Madrid-Granada

-Ahora repetiremos el proceso de arriba, y como ya se ha hecho una vez no se hará con tanto detenimiento, como ha sido el caso de arriba.

Distancia lineal = 4.445,72 km - 4.134,48 km= 311, 24 km.

Distancia angular =

(90º - 37,23º) - (90-42,39º)= 52,77 º-47,61º=5,16º

Ahora con estos datos resolvemos la ecuación del radio de la tierra.

El radio es de 3.459,54 km y el dato real es de  6.371 km, pero me remito al cálculo anterior, donde dije que el error se debía por una insuficiente distancia lineal entre los lugares, de los que se desea calcular el radio.

Madrid/Granada

Comparativa Madrid-Buenos Aires

-Con Buenos Aires, al estar en el otro hemisferio, hay que cambiar un poco el método para calcular el radio.

La distancia lineal es este caso, es la suma de la distancia de ambas ciudades al Ecuador.

4.445,72 km + 5.275,40 km= 9.721,12 km

La distancia angular es en este caso la suma es decir:

a=(90º-B1)+(90-B2)=

(90º-42,39º)+(90º-40,03º)=

47,61º+49,97º=97,58º

Ahora ya sí, aplicamos la ecuación del radio de la tierra de forma normal.

El radio real de la tierra es de 6371 km, pero en los cálculos nuestros ha salido 5.714,28 km, lo cual es un error muy pequeño (10,31%) si se tiene en cuenta los medios empleados para realizar el cálculo.

 Buenos Aires- Madrid

De lo que nos hemos dado cuenta, a lo lago de la entrada, es que cuanto mayor sea la distancia lineal entre ambos puntos, mejor y más precisos serán los datos obtenidos.

-Si algo de lo anterior no se ha entendido, también se puede acudir a esta presentación de Google Drive, realizada también por nuestros profesores de Física.

A continuación muestro el vídeo de la experiencia de un colegio de Córdoba, que emplean un reloj solar como el gnomon y es, una forma alternativa de  calcular el radio de la Tierra.